도형을 정확히 반으로
반 자르기는 자른 두 조각의 넓이를 신발끈 공식으로 계산합니다. 꼭짓점을 차례로 (x1,y1)…(xn,yn)이라 하면:
넓이 = ½ · |Σ (xi·yi+1 − xi+1·yi)|예를 들어 L자 (0,0)(2,0)(2,1)(1,1)(1,2)(0,2)는 항이 0, 2, 1, 1, 2, 0이라 합이 6, 넓이는 3입니다. 오목해도 그대로 됩니다.
눈대중이 틀리는 이유
사람은 흔히 "가운데"를 노리지만, 가운데를 지나는 선이 넓이를 반으로 가르지는 않습니다. 위 L자에서 테두리 상자 가운데를 세로로 자르면 2:1, 게임 점수로 39점입니다. 무게중심 (5/6, 5/6)을 지나는 세로선도 5:4(55.6%)라 86점에 그칩니다. 삼각형도 같아서, 밑변과 평행하게 무게중심을 지나면 위쪽이 정확히 4/9입니다.
좋은 소식도 있습니다. 어느 방향을 고르든 그 방향으로 넓이를 정확히 반으로 가르는 직선이 하나 있습니다. 선을 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 밀면 한쪽 넓이가 0%에서 100%까지 연속으로 변하므로 중간값 정리에 따라 50%를 반드시 지납니다. 그러니 방향을 먼저 정하고 위치만 맞추면 됩니다.
참고: Shoelace formula · Centroid · Intermediate value theorem (위키백과)